五聲音階的數學表示

某天與友聊天，不小心聊到五聲音階。對方說了一些什麼我有點記不清楚，不過回來查才發現，五聲音階是很有趣某種"和諧"，包括在做成數學式的計算上，音與音之間的關係（完全五度音）。

中國音樂的音階是宮、商、徵、角、羽，五音。wiki上寫，中國音樂選定五種相對音高作為旋律的基礎，是來自於三分損益法前五音的結果。所謂的三分損益法是一種計算方式，在司馬遷的《史記》「律書第三」中寫到：「……九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為徵。三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角。」

我看了之後，把三分損益法的計算方式寫成現代數學式如下：

宮 81 （Do）

徵 81/3x2 （So）

商 81/3x2/3x4 （Re）

羽 81/3x2/3x4/3x2 （La）

角 81/3x2/3x4/3x2/3x4 （Me）

整理好一點的算式：

宮81 （Do）

商72 =81*2/3*4/3 （Re）

角64 =81*2/3*4/3*2/3*4/3 （Me）

徴54 =81*2/3 （So）

羽48 =81*2/3*4/3*2/3 （La）

如果用完全五度去推這五個音，以C 為主音，就是 1 5 2(高音) 6（高音）3 （高高音）（不會用高八度的記號，所以用高來表示高八度，高高來表示高兩個八度）。

調整下來，也是 1 2 3 5 6 。所謂的五聲。

任何調性中都可以抓出相對的五聲。可能是因為五聲組成音都是完全五度（三個大二度，一個小三度）的和諧音，所以五聲音階變成練習即興的入門。如當代樂手這邊介紹的五聲音階。

但是其實，一開始是聊到語言的音韻，接著我就提到了工尺譜，如何看著以“上、尺、工、凡、六、五、乙“ 等字所記的譜來唱歌。最後就又聊到了五聲音階。正所謂，brain storming 沒有邏輯是也。

但是我想，大家驚訝的是中國有多早前就有一套計算精密的音樂音階，至於為何用工尺譜來記，可能只是signifier 與signified之間的關係。如果西洋人當初接受了工尺譜的唱名，現在大家唱 Do Re Me就是 上 尺 工。

今日說真的不宜動腦，已經累到要爆炸。但是算數學有助平穩身心，故此。